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【空间变换】投影变换

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经过 【空间变换】观察变换【空间变换】观察变换经过 [[【空间变换】基本变换]] 的模型变换，物体已经摆放在世界空间里。接下来要换个视角看世界——把相机放到合适的位置和角度，这一步叫观察变换（View Transformation），也叫视图变换。 打个拍照的比方：先把要拍的东西摆放好，这是模型变换；再挑一个角度架好相机，这是观察变换；最后按下快门把三维场景拍成二维照片，那是后面的 [[【空间变换】投影变换]]。 观察空间 观察空间（View Space）就是以相机原点为坐标原点建立起来的坐标系。它的三个基向量在世界空间里的取值，描述的正是相机的朝向。 按照惯例，观察空间是右手坐标系，相机看向 $-Z$ 方向。也就是说，相机的视线方向对应的是观察空间的 $-Z$ 轴。如果记相机位置为 $ViewPos$、注视目标为 $ViewTarget$，那么视线方向（gaze）指向目标，而观察空间的 $+Z$ 轴与视线相反： $$Z_{view} = -(ViewTarget - ViewPos) = ViewPos - ViewTarget$$ 要唯一确定一个相机，需要三个量： 1. 相机的位置。 2. 相机看向的方向（gaz，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。

先把结论列在前面，推完再回看会更清楚：

  • 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。
  • 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。
  • 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 zz 值（zviewz_{view}），这个 zz 最终成为裁剪空间的 ww 分量。
  • 透视相机的裁剪，是判断坐标 (x,y,z)(x, y, z) 是否落在 (−w,w)(-w, w) 之内。

裁剪空间

顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪：

  • 完全落在这块空间内部的图元，保留；
  • 完全落在外部的，剔除；
  • 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。

这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定了相机能看到的范围。视锥体分两类，对应两种投影：

  • 正交投影（Orthographic Projection）
  • 透视投影（Perspective Projection）

正交投影

正交投影下，相机在原点看向 −Z-Z、顶部朝 +Y+Y。它的做法是把视锥体（一个长方体）里的物体，平移并缩放到 [−1,1]3[-1, 1]^3 的标准立方体中。分两步：

  • 先把长方体中心平移到原点；
  • 再缩放到 [−1,1]3[-1, 1]^3 的标准立方体。

image.png

Mortho=[2r−l00002t−b00002n−f00001][100−r+l2010−t+b2001−n+f20001]M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

右边是平移矩阵，左边是缩放矩阵。

平移量取的是每根轴的中心坐标，取负号是因为把任意点挪回原点都是负向平移。缩放量则是用标准长度 22（即 [−1,1][-1, 1] 的跨度）去除以物体在每根轴上的实际长度。要注意由于相机看向 −Z-Z，近平面 nn 比远平面 ff 更大。

更细致的缩放推导、以及 OpenGL 与 DirectX 平台在 zz 值范围上的差异，见 正交投影矩阵推导过程正交投影矩阵推导过程这篇是 [[【空间变换】投影变换]] 里正交投影缩放矩阵的详细推导。核心问题很简单：观察空间里一段区间 $[l, r]$，要线性映射到裁剪空间的 $[-1, 1]$，这个缩放系数怎么来。$x$、$y$、$z$ 三个方向各推一遍，其中 $z$ 还要区分 OpenGL 和 DirectX 的平台差异。 缩放矩阵的目标 image.png 要找一个矩阵，把观察空间坐标 $(x_{view}, y_{view}, z_{view}, 1)$ 变换到裁剪空间 $(x_p, y_p, z_p, 1)$： $$ \begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{view} \\ y_{view} \\ z_{view} \\ 1 \end{bmatrix} = (x_p,\ y_p,\ z_p,\ 1) $$ 已知 $x$ 在相机空间的范围是 $(l, r)$，变换后要落到裁剪空间的 $(-1, 1)$。下面用一串。

透视投影

透视投影要还原"近大远小"，它的视锥体是一个上宽下窄的锥台。核心技巧是分两步：

  1. 先把视锥体"挤"成一个长方体；
  2. 再对这个长方体做上面的正交投影。

image.png

在"挤压"之前，先约定三条不变量，它们是后面解方程的依据：

  • 近平面上所有点的坐标不变；
  • 远平面上所有点的 zz 值不变，都是 ff；
  • 远平面中心点的坐标不变，为 (0,0,f)(0, 0, f)。

推导挤压矩阵

image.png

取视锥体内任意一点 (x,y,z)(x, y, z)，挤压后它的 xyxy 坐标应当与它在近平面上的投影点重合。由相似三角形可得：

y′=nzy,x′=nzxy' = \frac{n}{z} y, \qquad x' = \frac{n}{z} x

所以点 (x,y,z,1)(x, y, z, 1) 挤压后的坐标是 (nzx, nzy, ?, 1)\left(\frac{n}{z}x,\ \frac{n}{z}y,\ ?,\ 1\right)，zz 分量暂时未知：

(xviewyviewzview1)⇒(nx/zny/zunknown1)\begin{pmatrix} x_{view} \\ y_{view} \\ z_{view} \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx/z \\ ny/z \\ \text{unknown} \\ 1 \end{pmatrix}

现在要找一个矩阵 Mpersp→orthoM_{persp \to ortho}，让上面这个变换成立。

难点在哪： 假设矩阵第一行是 A,B,C,DA, B, C, D，那么要满足 Ax+By+Cz+D=nx/zAx + By + Cz + D = nx/z。这个等式很难凑——若让 A=n/zA = n/z、其余为 00 固然成立，但矩阵元素必须是常数，n/zn/z 却是个变量。第二行 Ex+Fy+Gz+H=ny/zEx + Fy + Gz + H = ny/z 也是同样的麻烦。

破解办法，用的正是 【空间变换】齐次坐标【空间变换】齐次坐标  　　空间变换这一系列笔记，讲的是一个顶点从建模软件里的局部坐标，一路变换到屏幕像素的完整过程，也就是渲染管线里常说的 MVP 变换加上后续的屏幕映射。而这一切的数学地基，是齐次坐标。所以先从它讲起。 为什么需要齐次坐标 顶点变换无非三种：平移、旋转、缩放。旋转和缩放都能写成一个矩阵乘以坐标： $$P' = M \cdot P$$ 但平移不行。在三维笛卡尔坐标下，平移是把每个分量各加一个偏移量： $$(x, y, z) \rightarrow (x + t_x,\ y + t_y,\ z + t_z)$$ 这是一次加法，没法用一个 $3\times3$ 矩阵乘出来。于是就出现了一个别扭的局面：旋转缩放是乘法，平移是加法，两类操作凑不到一起。如果一个顶点既要旋转又要平移，就得写成 $P' = M \cdot P + t$，既有乘又有加。当变换一多，这种混合写法会变得非常难组合。 齐次坐标就是为了解决这件事：给坐标加上第四个分量 $w$，把平移也塞进矩阵里，让平移、旋转、缩放全都变成统一的矩阵乘法。 一旦所有变换都是矩阵，它们就能通过矩阵连乘预先合并成一个矩阵 里那条性质：(x,y,z,1)(x, y, z, 1) 与 (kx,ky,kz,k)(kx, ky, kz, k)（k≠0k \neq 0）表示同一个点。于是让 k=zviewk = z_{view}，把目标坐标 (nx/z, ny/z, unknown, 1)(nx/z,\ ny/z,\ \text{unknown},\ 1) 整体乘以 zz，变成 (nx, ny, still unknown, z)(nx,\ ny,\ \text{still unknown},\ z)——分母上的 zz 就被消掉了：

Mpersp→ortho(4×4)(xviewyviewzview1)=(nxny? zviewzview)M_{persp \to ortho}^{(4\times4)} \begin{pmatrix} x_{view} \\ y_{view} \\ z_{view} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ ?\,z_{view} \\ z_{view} \end{pmatrix}

对照左右两边，矩阵的第一、二、四行已经可以填出来，只剩第三行未知：

Mpersp→ortho=(n0000n00????0010)M_{persp \to ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

即：

(n0000n00????0010)(xviewyviewzview1)=(nxny? zviewzview)\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{view} \\ y_{view} \\ z_{view} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ ?\,z_{view} \\ z_{view} \end{pmatrix}

求第三行

先用约定近平面上所有点坐标不变。近平面上的点形如 (x,y,n,1)(x, y, n, 1)，代入应得回自身：

(n0000n00????0010)(xyn1)=(xyn1)\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix}

看第一、二、四行：

{nx=xny=yn=1\begin{cases} nx = x \\ ny = y \\ n = 1 \end{cases}

这显然有问题，只有当 n=1n = 1 时才成立，而 nn 应是任意常数。解决办法还是老套路——把等号右边的 (x,y,n,1)(x, y, n, 1) 整体乘上 nn，等价地写成 (nx,ny,n2,n)(nx, ny, n^2, n)：

(n0000n00????0010)(xyn1)=(nxnyn2n)\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix}

现在第一、二、四行都对上了：

{nx=nxny=nyn=n\begin{cases} nx = nx \\ ny = ny \\ n = n \end{cases}

设第三行为 A,B,C,DA, B, C, D，则由第三行得到 Ax+By+Cn+D=n2Ax + By + Cn + D = n^2。由于结果 n2n^2 与 x,yx, y 无关，可知 A=0A = 0、B=0B = 0，剩下 Cn+D=n2Cn + D = n^2。

再用约定远平面中心点 (0,0,f)(0, 0, f) 不变。这个点齐次化为 (0,0,f,1)(0, 0, f, 1)，同样整体乘 ff，第三行应得 f2f^2：

(n0000n0000CD0010)(00f1)=(00f2f)\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & D \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{pmatrix}

联立近、远平面两个方程：

{Cn+D=n2Cf+D=f2  ⟹  {C=n+fD=−nf\begin{cases} Cn + D = n^2 \\ Cf + D = f^2 \end{cases} \implies \begin{cases} C = n + f \\ D = -nf \end{cases}

于是挤压矩阵 Mpersp→orthoM_{persp \to ortho} 为：

Mpersp→ortho=(n0000n0000n+f−nf0010)M_{persp \to ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

它把透视投影的锥台压成了正交投影的长方体。

合并

把压好的长方体再乘上正交投影矩阵，就得到完整的透视投影矩阵：

Mpersp=[2r−l00002t−b00002n−f00001][100−r+l2010−t+b2001−n+f20001][n0000n0000n+f−nf0010]M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

经过投影矩阵后，顶点落在裁剪空间里，ww 分量保留着观察空间的 zz 信息。接下来交给硬件做透视除法和视口变换，见 【空间变换】屏幕映射(Screen Mapping)【空间变换】屏幕映射(Screen Mapping)经过 [[【空间变换】投影变换]]，顶点已经在裁剪空间里了。屏幕映射是这条管线的最后一站，负责把裁剪空间的顶点落到屏幕上具体的像素位置。它包含两步： - 透视除法（Perspective Division） - 视口变换（Viewport Transform） 透视除法 image.png 上图是顶点数据的完整变换流程。局部空间的顶点，依次经过模型矩阵 Model、观察矩阵 View、投影矩阵 Projection，来到裁剪空间，此时满足 $-w_{clip} \leq x, y, z \leq w_{clip}$。接着做透视除法——每个分量都除以 $w$ 分量——就得到了标准设备坐标（NDC），它所在的空间也叫标准视体（Canonical View Volume，CVV）。 为什么这一步能实现近大远小？ 关键在 $w$。回顾 [[【空间变换】投影变换]] 的推导，投影矩阵刻意把观察空间的 $z$ 坐标塞进了裁剪空间的 $w$ 分量。于是透视除法（除以 $w$，等于除以 $z$）就让离相机越远、$z$ 越大的顶点，坐标被压缩得越狠——这正是透视效果的来源。这也回扣了 [[【空。

参考