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【空间变换】观察变换

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经过 【空间变换】基本变换【空间变换】基本变换有了 [[【空间变换】齐次坐标]] 打底，就可以来看最基础的三种变换：平移、缩放、旋转。它们是模型变换（Model Transformation）的三块积木，把物体从局部空间摆放到世界空间里的正确位置、朝向和大小，靠的就是这三者的组合。 因为统一用了齐次坐标，三种变换都写成 $4\times4$ 矩阵，可以直接连乘合并，最后对每个顶点只做一次矩阵乘法。下面逐个推导，并附上在着色器里的写法。 平移变换 平移就是给每个坐标分量加上一个偏移量，借助齐次坐标的第四列实现： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \\ 1 \end{bmatrix} = (P_x + x,\ P_y + y,\ P_z + z,\ 1) $$ 对应的着色器代码： float4x4 T = float4x4( 1, 0, 0, _TransForm.x, 0, 1, 0, 的模型变换，物体已经摆放在世界空间里。接下来要换个视角看世界——把相机放到合适的位置和角度，这一步叫观察变换（View Transformation），也叫视图变换。

打个拍照的比方：先把要拍的东西摆放好，这是模型变换；再挑一个角度架好相机，这是观察变换；最后按下快门把三维场景拍成二维照片，那是后面的 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定。

观察空间

观察空间（View Space）就是以相机原点为坐标原点建立起来的坐标系。它的三个基向量在世界空间里的取值，描述的正是相机的朝向。

按照惯例，观察空间是右手坐标系，相机看向 −Z-Z 方向。也就是说，相机的视线方向对应的是观察空间的 −Z-Z 轴。如果记相机位置为 ViewPosViewPos、注视目标为 ViewTargetViewTarget，那么视线方向（gaze）指向目标，而观察空间的 +Z+Z 轴与视线相反：

Zview=−(ViewTarget−ViewPos)=ViewPos−ViewTargetZ_{view} = -(ViewTarget - ViewPos) = ViewPos - ViewTarget

要唯一确定一个相机，需要三个量：

  1. 相机的位置。
  2. 相机看向的方向（gaze，记作 g⃗\vec{g}）。
  3. 相机向上的方向（up，记作 t⃗\vec{t}）。

变换思路

image.png

观察变换要做的，是把世界空间里"位置在 ee、看向 g⃗\vec{g}、向上是 t⃗\vec{t}"的相机，搬正到"坐标原点、看向 −Z-Z、向上是 +Y+Y"的标准位置。这可以拆成一次平移加一次旋转。

常规做法是分四步走：

  • 先把相机平移到原点；
  • 再把视线 g⃗\vec{g} 旋转到 −Z-Z；
  • 再把 up 方向 t⃗\vec{t} 旋转到 +Y+Y；
  • 再把 g⃗×t⃗\vec{g} \times \vec{t} 旋转到 +X+X。

问题是，"把任意方向旋转到坐标轴"的旋转矩阵并不好直接写出来。于是有一个简化做法：反过来求。

简化做法——先求逆问题，再求逆矩阵：

  • 与其求"任意位置 → 标准位置"，不如先求"标准位置 → 任意位置"；
  • 也就是把标准轴旋转到相机轴：+X (1,0,0)⇒g⃗×t⃗+X\,(1,0,0) \Rightarrow \vec{g}\times\vec{t} 方向，+Y (0,1,0)⇒t⃗+Y\,(0,1,0) \Rightarrow \vec{t} 方向，+Z (0,0,1)⇒−g⃗+Z\,(0,0,1) \Rightarrow -\vec{g} 方向；
  • 最后对求出的矩阵取逆。

反过来求之所以简单，是因为"把标准轴转到某组已知向量"的矩阵，直接把这几个目标向量按列摆进去就行。

平移矩阵

把相机从位置 e=(xe,ye,ze)e = (x_e, y_e, z_e) 移回原点，是一个负向平移：

Tview=[100−xe010−ye001−ze0001]T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

旋转矩阵

按简化思路，先写出"标准轴 → 相机轴"的旋转矩阵，做法就是把三个目标向量 g⃗×t⃗\vec{g}\times\vec{t}、t⃗\vec{t}、−g⃗-\vec{g} 分别作为矩阵的列。可以验证，这个矩阵作用在 (1,0,0)(1,0,0) 上，得到的正是第一列 g⃗×t⃗\vec{g}\times\vec{t}：

[xg^×t^xtx−g0yg^×t^yty−g0zg^×t^ztz−g00001][1001]=(xg^×t^, yg^×t^, zg^×t^, 1)\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (x_{\hat{g}\times\hat{t}},\ y_{\hat{g}\times\hat{t}},\ z_{\hat{g}\times\hat{t}},\ 1)

我们真正需要的是它的逆——"相机轴 → 标准轴"。这里有一条关键性质：旋转矩阵是正交矩阵，正交矩阵的逆等于它的转置。 所以直接转置就得到了观察变换所需的旋转矩阵：

Rview=[xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xtytzt0x−gy−gz−g00001]R_{view} = \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

合并

先平移到原点，再旋转对齐坐标轴，观察变换矩阵就是两者相乘：

Mview=Rview⋅TviewM_{view} = R_{view} \cdot T_{view}

顶点经过 MviewM_{view} 之后就来到了观察空间。下一步是把这个视锥体里的空间投影到裁剪空间，见 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定。

参考