【空间变换】齐次坐标

 

　　空间变换这一系列笔记，讲的是一个顶点从建模软件里的局部坐标，一路变换到屏幕像素的完整过程，也就是渲染管线里常说的 MVP 变换加上后续的屏幕映射。而这一切的数学地基，是齐次坐标。所以先从它讲起。

为什么需要齐次坐标

顶点变换无非三种：平移、旋转、缩放。旋转和缩放都能写成一个矩阵乘以坐标：

$P' = M \cdot P$

但平移不行。在三维笛卡尔坐标下，平移是把每个分量各加一个偏移量：

$(x, y, z) \rightarrow (x + t_x,\ y + t_y,\ z + t_z)$

这是一次加法，没法用一个 $3\times3$ 矩阵乘出来。于是就出现了一个别扭的局面：旋转缩放是乘法，平移是加法，两类操作凑不到一起。如果一个顶点既要旋转又要平移，就得写成 $P' = M \cdot P + t$，既有乘又有加。当变换一多，这种混合写法会变得非常难组合。

齐次坐标就是为了解决这件事：给坐标加上第四个分量 $w$，把平移也塞进矩阵里，让平移、旋转、缩放全都变成统一的矩阵乘法。 一旦所有变换都是矩阵，它们就能通过矩阵连乘预先合并成一个矩阵，对每个顶点只做一次乘法即可。这正是 GPU 处理海量顶点时需要的形式。

具体做法，是把三维点写成四维：

$(x, y, z) \rightarrow (x, y, z, 1)$

再看平移矩阵：

多出来的第四列，恰好把偏移量加了进去，平移就此变成了一次矩阵乘法。

w 分量：区分点和向量

引入 $w$ 之后，还带来一个额外的好处——它能区分一个坐标到底是点还是向量。

看上面这张图，$A = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 这个坐标，既可以理解成空间中的一个点（位置），也可以理解成一个向量（方向和长度）。但两者的运算规则并不一样：两个向量相加是有意义的（合成），两个点相加却没有意义。光看坐标分不清是哪种，$w$ 正好用来标记：

$A = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}$

• $w = 1$：表示一个点。
• $w = 0$：表示一个向量。

　　这个约定和平移矩阵是自洽的。向量代表纯粹的方向，平移它没有意义（把一个方向"挪个位置"，它还是那个方向）。而 $w = 0$ 时，平移矩阵第四列乘进去的偏移量全部被 $0$ 消掉，向量自动免疫平移；点的 $w = 1$，则会正常接受平移。一个 $w$ 分量，就让矩阵对点和向量做出了正确的区别对待。

由此也能验证几条运算的合理性，只要盯着 $w$ 看：

• 点 − 点 = 向量（$1 - 1 = 0$），两点相减得到从一点指向另一点的方向，符合直觉。
• 点 + 向量 = 点（$1 + 0 = 1$），沿某方向移动一个点，结果还是点。
• 向量 + 向量 = 向量（$0 + 0 = 0$）。
• 点 + 点：$w = 2$，落在"既非点也非向量"的状态，这也解释了为什么两点直接相加没有意义。

缩放不变性与透视除法的伏笔

齐次坐标还有一条至关重要的性质：一个 $w \neq 0$ 的齐次坐标，整体乘以任意非零常数 $k$，表示的是同一个点。

$[x, y, z, w] = [kx, ky, kz, kw] \quad (k \neq 0)$

要从齐次坐标还原回真正的三维坐标，只需让每个分量都除以 $w$：

$[x, y, z, w] \rightarrow \left[\frac{x}{w},\ \frac{y}{w},\ \frac{z}{w}\right]$

举个例子：

$[1, 2, 3, 1] = [2, 4, 6, 2] = [1, 2, 3]$

后两者除以各自的 $w$，都回到同一个点 $[1, 2, 3]$。

　　这条"乘一个非零常数不改变所代表的点"的性质，眼下看只是个数学细节，但它是后面推导透视投影的关键钥匙。透视投影里那个难求的矩阵，正是靠着"允许整体乘上一个变量 $z$"这一步才凑出来的；而屏幕映射前的透视除法（除以 $w$），本质就是在这里做的"除以 $w$ 还原坐标"。可以说，近大远小的透视效果，最终都落在这一个除法上。这些留到后面的 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定 和 【空间变换】屏幕映射(Screen Mapping)【空间变换】屏幕映射(Screen Mapping)经过 [[【空间变换】投影变换]]，顶点已经在裁剪空间里了。屏幕映射是这条管线的最后一站，负责把裁剪空间的顶点落到屏幕上具体的像素位置。它包含两步： - 透视除法（Perspective Division） - 视口变换（Viewport Transform） 透视除法 image.png 上图是顶点数据的完整变换流程。局部空间的顶点，依次经过模型矩阵 Model、观察矩阵 View、投影矩阵 Projection，来到裁剪空间，此时满足 $-w_{clip} \leq x, y, z \leq w_{clip}$。接着做透视除法——每个分量都除以 $w$ 分量——就得到了标准设备坐标（NDC），它所在的空间也叫标准视体（Canonical View Volume，CVV）。 为什么这一步能实现近大远小？ 关键在 $w$。回顾 [[【空间变换】投影变换]] 的推导，投影矩阵刻意把观察空间的 $z$ 坐标塞进了裁剪空间的 $w$ 分量。于是透视除法（除以 $w$，等于除以 $z$）就让离相机越远、$z$ 越大的顶点，坐标被压缩得越狠——这正是透视效果的来源。这也回扣了 [[【空 再详细展开。