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【空间变换】屏幕映射(Screen Mapping)

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经过 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定，顶点已经在裁剪空间里了。屏幕映射是这条管线的最后一站，负责把裁剪空间的顶点落到屏幕上具体的像素位置。它包含两步：

  • 透视除法（Perspective Division）
  • 视口变换（Viewport Transform）

透视除法

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上图是顶点数据的完整变换流程。局部空间的顶点，依次经过模型矩阵 Model、观察矩阵 View、投影矩阵 Projection，来到裁剪空间，此时满足 −wclip≤x,y,z≤wclip-w_{clip} \leq x, y, z \leq w_{clip}。接着做透视除法——每个分量都除以 ww 分量——就得到了标准设备坐标（NDC），它所在的空间也叫标准视体（Canonical View Volume，CVV）。

为什么这一步能实现近大远小？ 关键在 ww。回顾 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定 的推导，投影矩阵刻意把观察空间的 zz 坐标塞进了裁剪空间的 ww 分量。于是透视除法（除以 ww，等于除以 zz）就让离相机越远、zz 越大的顶点，坐标被压缩得越狠——这正是透视效果的来源。这也回扣了 【空间变换】齐次坐标【空间变换】齐次坐标  　　空间变换这一系列笔记，讲的是一个顶点从建模软件里的局部坐标，一路变换到屏幕像素的完整过程，也就是渲染管线里常说的 MVP 变换加上后续的屏幕映射。而这一切的数学地基，是齐次坐标。所以先从它讲起。 为什么需要齐次坐标 顶点变换无非三种：平移、旋转、缩放。旋转和缩放都能写成一个矩阵乘以坐标： $$P' = M \cdot P$$ 但平移不行。在三维笛卡尔坐标下，平移是把每个分量各加一个偏移量： $$(x, y, z) \rightarrow (x + t_x,\ y + t_y,\ z + t_z)$$ 这是一次加法，没法用一个 $3\times3$ 矩阵乘出来。于是就出现了一个别扭的局面：旋转缩放是乘法，平移是加法，两类操作凑不到一起。如果一个顶点既要旋转又要平移，就得写成 $P' = M \cdot P + t$，既有乘又有加。当变换一多，这种混合写法会变得非常难组合。 齐次坐标就是为了解决这件事：给坐标加上第四个分量 $w$，把平移也塞进矩阵里，让平移、旋转、缩放全都变成统一的矩阵乘法。 一旦所有变换都是矩阵，它们就能通过矩阵连乘预先合并成一个矩阵 里"除以 ww 还原坐标"那条性质：使用齐次坐标的深层意义，就是为了在投影前把物体的深度信息（zz 值）妥善保存到 ww 里，好在这一步正确还原透视。

还有一点值得留意：透视除法由硬件自动执行，正交投影和透视投影都会走这一步。只不过正交投影没有改动 ww 分量（仍然是 11），除以 11 相当于什么都没做，所以正交下这步没有实际效果。

视口变换

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透视除法之后得到的是 NDC 坐标。之所以要有 NDC 这个中间产物，是为了让屏幕坐标的转换与硬件无关——不管目标屏幕多大，先统一到 [−1,1][-1, 1] 的标准范围，再由视口变换映射到实际窗口。

视口变换后得到的是窗口坐标（Window Coordinates）。这里要区分两个概念：

  • 屏幕坐标（Screen Coordinates） 是 2D 的，只表示屏幕上的 XY 位置；
  • 窗口坐标（Window Coordinates） 是 2.5D 的，除了 XY 还带有变换后的 Z 深度信息。

NDC 映射到窗口坐标，只需一次平移加一次缩放。深度 Z 的范围同样有平台差异：OpenGL 映射到 [−1,1][-1, 1]，DirectX 映射到 [0,1][0, 1]，可以用 glDepthRange() 来设定深度映射。视口本身则用 glViewport() 设定坐标和宽高。

最后一个容易忽略的点：屏幕空间和视口（Viewport）不是一回事。 视口可以只占屏幕的一部分。如果视口小于屏幕空间，就可能有多余的像素被处理——比如 glClear() 会对整个屏幕填色。要避免这种浪费，可以用裁切测试（Scissor Test） 限定实际渲染的区域。

至此，一个顶点从建模软件里的局部坐标，历经模型、观察、投影、透视除法、视口变换，终于落到了屏幕上的像素位置。整条空间变换管线到这里就走完了。

参考