正交投影矩阵推导过程

这篇是 【空间变换】投影变换【空间变换】投影变换经过 [[【空间变换】观察变换]]，顶点已经来到以相机为原点的观察空间。投影变换要做的，是把观察空间里相机能看到的那块区域，映射到一个规整的立方体里，方便后续裁剪。这一步的矩阵叫裁剪矩阵，也叫投影矩阵。本篇沿用 Games101 的思路推导。 先把结论列在前面，推完再回看会更清楚： - 把顶点变换到裁剪空间的目的，是方便做裁剪。 - 正交相机的裁剪空间，就是一个标准立方体（CVV）。 - 推导透视投影时，我们会乘上一个观察空间的 $z$ 值（$z_{view}$），这个 $z$ 最终成为裁剪空间的 $w$ 分量。 - 透视相机的裁剪，是判断坐标 $(x, y, z)$ 是否落在 $(-w, w)$ 之内。 裁剪空间 顶点从观察空间变换到裁剪空间（Clip Space，也叫齐次裁剪空间），用的就是投影矩阵。之所以要这块空间，是为了方便对图元做裁剪： - 完全落在这块空间内部的图元，保留； - 完全落在外部的，剔除； - 与边界相交的，裁剪掉超出的部分。 这块空间由视锥体（View Frustum） 决定——它是空间中一块由六个裁剪平面（Clip Planes）围成的区域，界定 里正交投影缩放矩阵的详细推导。核心问题很简单：观察空间里一段区间 $[l, r]$，要线性映射到裁剪空间的 $[-1, 1]$，这个缩放系数怎么来。$x$、$y$、$z$ 三个方向各推一遍，其中 $z$ 还要区分 OpenGL 和 DirectX 的平台差异。

缩放矩阵的目标

要找一个矩阵，把观察空间坐标 $(x_{view}, y_{view}, z_{view}, 1)$ 变换到裁剪空间 $(x_p, y_p, z_p, 1)$：

已知 $x$ 在相机空间的范围是 $(l, r)$，变换后要落到裁剪空间的 $(-1, 1)$。下面用一串不等式变形把系数逼出来。

x 方向推导

从 $l < x < r$ 出发，目标是凑出 $-1 < (\cdots) < 1$ 的形式：

在对称视锥体（$r = -l$，即 $l + r = 0$）下，分子的 $-l - r$ 项消去：

$-1 < \frac{2x}{r-l} < 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x\cdot\frac{2}{r-l} < 1$

于是 $x$ 方向的缩放系数就是 $\dfrac{2}{r-l}$。

y 方向推导

和 $x$ 完全一样，把 $r$ 换成 $t$、$l$ 换成 $b$，得到系数 $\dfrac{2}{t-b}$。

z 方向推导

$z$ 要特别小心两点：相机空间是右手坐标系、看向 $-z$；而不同图形 API 对裁剪空间 $z$ 的目标范围约定不同：

• OpenGL：$(-1, 1)$
• DirectX：$(0, 1)$，若反转 $z$ 值则为 $(1, 0)$

OpenGL：映射到 (-1, 1)

DirectX：反转 z 值，映射到 (1, 0)

DirectX：不反转 z 值，映射到 (0, 1)

三个平台的缩放矩阵

把上面各方向的系数填回矩阵，就得到三种约定下的正交缩放矩阵。

OpenGL：

DirectX，反转 z 值：

DirectX，不反转 z 值：

$z$ 那一行的常数项（第四列），正是上面不等式变形里那个与 $z$ 无关的偏移量——它把缩放后的区间平移到目标范围的正确位置。